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aeronáutico, automovilístico y naval; control de la contaminación; dinámica de poblaciones y propagación de enfermedades virales; vibraciones mecánicas y eléctricas; etcétera. Los cálculos numéricos suelen ser la única posibilidad para obtener la solución de un problema complejo. Casi todos los cálculos numéricos en la física, mecánica, química, ingeniería, economía, finanzas, etcétera, utilizan métodos de álgebra lineal numérica, es decir, las operaciones con matrices y vectores. Por lo tanto, el álgebra lineal es una parte integral de una simulación numérica e importante en términos de rendimiento y eficiencia.
Fundamentos de los métodos computacionales en álgebra lineal describe en forma estricta los métodos numéricos básicos ampliamente usados en la solución de problemas de algebra lineal. El texto está basado en los cursos que el autor ha impartido durante últimos veinte años en el Departamento de Física de la Facultad de Ciencias y en los programas de posgrado de Ciencia e Ingeniería de Materiales y Ciencias de la Tierra de la UNAM.
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Fundamentos de los métodos computacionales en álgebra lineal describe en forma estricta los métodos numéricos básicos ampliamente usados en la solución de problemas de algebra lineal. El texto está basado en los cursos que el autor ha impartido durante últimos veinte años en el Departamento de Física de la Facultad de Ciencias y en los programas de posgrado de Ciencia e Ingeniería de Materiales y Ciencias de la Tierra de la UNAM.
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Skiba, Yuri N.
Yuri Nickolaevich Skiba nació en Ust-Nera, Rusia. Realizó sus estudios en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Estatal de Novosibirsk. Obtuvo el grado de Maestro en Mecánica Teórica en la misma universidad, y el grado de Doctor en Física y Matemática en el Centro de Cómputo de la Academia de Ciencias de la entonces URSS. En el periodo de 1979 a 1994 ocupó diversos cargos, entre ellos: jefe del grupo de investigaciones científicas en el Centro de Cómputo de la Academia de Ciencias, investigador en dos cruceros científicos en el océano Índico, investigador titular en el Centro de Cómputo de la Información Científica y Técnica, Comité Estatal de Ciencias y Tecnología, Consejo de Ministros en Moscú, y en el Instituto de Matemáticas Numéricas, Academia de Ciencias de la misma ciudad. De 1988 a 1991 trabajó como investigador titular invitado en el Instituto Hindú de Tecnología
en Nueva Delhi, en el Instituto Hindú de Ciencias en Bangalore, y en el Instituto Hindú de la Meteorología Tropical en Pune. Se le otorgó el título de “Sénior Scientific Researcher of urss” por el Presídium de la Academia de Ciencias de la Unión Soviética. Desde 1992 se ha desempeñado como investigador titular y jefe de la sección de Modelación Matemática de Procesos Atmosféricos en el Centro de Ciencias de la Atmósfera de la UNAM. Es especialista en matemáticas aplicadas (ecuaciones diferenciales, la dinámica de fluidos, métodos numéricos, transporte y control de contaminantes) y tiene ocho libros, 206 artículos y capítulos de libros, y más de 200 reseñas publicados en Mathematical Reviews (USA).
Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores de México, nivel II, American Mathematical Society (EUA) y de varias otras sociedades científicas.
    [toc] => Prólogo    
Conceptos preliminares  
Capítulo 1. 
Elementos básicos de análisis matricial  
1.1. Introducción (importancia de los métodos numéricos; errores de cálculos; calidad de los cálculos: aproximación de un  problema continuo,  estabilidad de cálculos y convergencia de  la solución numérica hacia la solución del problema continuo original; ejercicios). 
1.2. Espacios lineales y vectores (axiomas de un espacio lineal; espacio euclidiano; espacio unitario; dimensión del espacio; base  y coordenadas; combinación  lineal de vectores;  dependencia  lineal de vectores; transformación  de  coordenadas;  módulo  de  un  vector;  producto  escalar;  ortogonalidad  de vectores;  ortogonalización  de  Gram-Schmidt;  desigualdad  de  Schwarz;  normas  vectoriales; desigualdad de Hölder; equivalencia de normas vectoriales; ejercicios).  
1.3. Matrices  (matriz rectangular; matriz cuadrada; operaciones con matrices; matriz nula; matriz identidad; matriz traspuesta; matriz conjugada; matriz adjunta; determinante de una matriz y sus propiedades; matriz inversa; eigenvalor y eigenvector de una matriz; traza de una matriz; imagen, espacio nulo y rango de una matriz; ejercicios).   
1.4. Matrices especiales (matriz  escalar;  matriz  diagonal;  matriz  tridiagonal  superior;  matriz  triangular inferior; matriz simétrica; matriz hermitiana; matriz antisimétrica; matriz antihermitiana; matriz ortogonal; matriz unitaria; matriz normal; matriz definida positiva; matriz semidefinida positiva; matriz idempotente; matriz diagonal dominante; ejercicios).  
1.5. Problema espectral (eigenvalores y eigenvectores; celda de Jordan; matriz diagonalizable; multiplicidad algebraica y  multiplicidad geométrica  de  un eigenvalor;  eigenespacio  (espacio  propio); forma cuadrática asociada con una matriz cuadrada; ejercicios).  
1.6. Normas matriciales  (axiomas de una norma matricial; norma de Frobenius (o de Hilbert-Schmidt); radio espectral;  norma  espectral; p-normas;  norma consistente;  norma  subordinada; equivalencia  de normas;  estimaciones  de  normas  inversas;  Lema  de  Kellog;  teorema  de  Horn  y  Johnson; ejercicios).  1.7. Problemas al capítulo 1   
 ii Capítulo 2. Problemas de algebra lineal    2.1. Tipos de problemas computacionales (sistema de ecuaciones lineales algebraicas Ax b?; sistema AX B? donde ,  y A X B son matrices; búsqueda de la matriz inversa; cálculo de determinantes; problema espectral Ax x?? para una matriz simétrica o hermitiana A; problema espectral generalizado Ax Cx?? para una matriz simétrica A y una matriz simétrica y positiva definida C; problemas relacionados con desigualdades  linealesAx b?;  matriz  dispersa;  matriz  densa;  matriz  generador;  matriz almacenada; matriz de banda; ejercicios). 2.2. Fuentes de problemas computacionales (aproximación  de  un  problema  continuo  funcional  por  un  problema  discreto; problemas de interpolación; solución de  los problemas lineales por el método  de los mínimos cuadrados; búsqueda de la matriz inversa; resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas lineales con coeficientes constantes; ejercicios). 2.3. Número de condición de una matriz (inestabilidad de la  solución  de un sistema mal condicionado; ejemplo de  Kahan; estimación de los errores relativos; número de condición de una matriz cuadrada; matrices bien y mal  condicionadas;  matriz de  Hilbert;  equivalencia  de  los  números  de  condición calculados usando diferentes normas; ejercicios).   2.4. Estimación del número de condición (número de condición de una matriz tridiagonal; número de condición de una matriz simétrica; el determinante de una matriz y su número de condición; estimaciones del número de condición desde abajo y desde arriba; números singulares de una matriz; simetrizaciòn de un sistema de ecuaciones; ejercicios).    2.5. Método de las potencias (problema espectral particular; idea del método iterativo; descripción del algoritmo; proceso de deflación; ejemplos; cálculo de los límites espectrales de una matriz simétrica; un problema de resonancia; ejercicios).  2.6. Estimación de eigenvalores (desigualdad  de  Wielandt-Hoffman;  teorema  de  Wielandt-Hoffman;  perturbación infinitesimal  de  la  celda  de  Jordan;  criterio  de  Gershgorin;  ejemplos;  teorema  de  Schur; estimaciones  de  Hirsch;  estimación  de  autovalores  de  una  matriz  tridiagonal  hermitiana; ejercicios).  2.7. Problemas al capítulo 2  Capítulo 3. Métodos directos para sistemas lineales    3.1. Factorización LU  (regla  de  Cramer;  esquema  de  solución  de  un  sistema  lineal  con  la  matriz factorizada; matriz estrictamente regular; matriz  unitriangular, superior  o inferior; teorema LU sobre  la existencia  y unicidad  de factorización;  tres métodos  para calcular  la matriz  inversa; Criterio  de  Sylvester;  factorización  de  Cholesky;  factorización  de  una  matriz  estrictamente regular y simétrica; ejercicios).  3.2. Eliminación de Gauss (demostración del  método para un  sistema de orden  cuatro; algoritmo en  el caso general; estimación del número de operaciones aritméticas; la relación  entre la eliminación de Gauss y la factorización LU; matriz permutación y cambio de filas de la matriz A; factorización PA LU?; algoritmo de factorización de Cholesky; ejercicios). 
 iii  3.3. Factorización QR por medio de la ortogonalización de Gram-Schmidt (solución de un sistema lineal con la matriz factorizada; existencia y unicidad de la factorización  QR;  factorización  de  una  matriz  rectangular;  factorización  por  medio  de  la ortogonalización de Gram-Schmidt; dos ejemplos de factorización; ejercicios).    3.4. Factorización QR por medio de transformaciones de Givens (matriz  de rotación  del  plano;  matrices  ortogonales  de Givens;  factorización  por medio de rotaciones de Givens; estimación del número de operaciones aritméticas; ejercicios).  3.5. Factorización QR por medio de transformaciones de Householder (transformación  de  Hausholder;  factorización  por  medio  de  trancformaciones  de Householder;  estimación  del  número  de  operaciones  aritméticas;  esquema  de  reducción  de Householder; ejercicios).   3.6. Método de Thomas (ecuaciones tripuntuales con condiciones de Dirichlet, Neumann y mixtas; algoritmo de Thomas; condiciones de estabilidad; análisis de estabilidad; ejercicios).  3.7. Método de disparo (descripción del  algoritmo para  un problema no  lineal; descripción del  algoritmo para un problema lineal; dos ejemplos que muestran la inestabilidad del método; ejercicios).  3.8. Método de Thomas en el caso de condiciones periódicas (fórmula de Sherman-Morrison; aplicación de la fórmula de Sherman-Morrison y del método de Thomas; ejercicios).  3.9. Método de cuadrados mínimos (rango  de  una  matriz  rectangular;  espacios row( )A y col( )A generados  por combinaciones lineales de las filas y columnas; relación entre ker( )A y row( )A para una matriz rectangular; proyector ortogonal sobre el subespacio col( )A; solución por el método de cuadrados mínimos; aplicación de transformaciones de Householder para resolver el problema de cuadrados mínimos; ejercicios). 3.10. Problemas al capítulo 3  Capítulo 4. Métodos iterativos para sistemas lineales     4.1. Convergencia de las iteraciones (forma canónica de iteraciones sucesivas; condición suficiente para la convergencia de  iteraciones;  estimación del  error  de  las  iteraciones;  criterio  de  convergencia;  ejemplo de convergencia de las iteraciones simples; ejercicios). 4.2. Método de Jacobi (condición necesaria para la aplicación del método; fórmula de iteraciones para las componentes  del vector;  la  convergencia  del  método  para  una matriz  con  diagonal  principal dominante; estimación del número de iteraciones; matriz irreducible; teorema de convergencia para una matriz irreducible y débilmente dominante; ejercicios).  4.3. Método de Gauss-Seidel (condición necesaria para la aplicación del método; fórmula de iteraciones para las componentes  del vector;  la  convergencia  del método  para  una  matriz  estrictamente  diagonal dominante;  el  criterio  de  Sassenfeld  de  la  convergencia  de  iteraciones;  la  convergencia  de iteraciones para una matriz simétrica y definida positiva; teorema de Householder-John; teorema de Stein-Rosenberg; ejercicios).  4.4. Métodos de relajación (método de Jacobi con relajación; parámetro de relajación óptimo ? para una matriz especial del método de Jacobi con relajación; método de Gauss-Seidel con relajación; teorema de 
 iv Kahan  sobre la  divergencia del  método  fuera  del  intervalo 02???;  teorema de  Ostrowski; matriz coherentamente ordenada; teorema de Young; ejercicios).  4.5. Métodos de minimización (forma canónica  de procesos iterativos  basados en los  métodos de  minimización; convergencia monótona de las iteraciones; método de descenso más pronunciado; método simple; A-ortogonalización; método de gradientes conjugados y su convergencia; ejercicios). 4.6. Algoritmos LR y QR          (cálculo  de  los  eigenvalores  de  una  matriz  no  singular;  algoritmo  iterativo  LR; teorema de Rutishauser; algoritmo iterativo QR; matriz de Hessenberg; algoritmos LR y QR para una matriz simétrica; ejercicios). 4.7. Problemas al capítulo 4  5. Eficiencia de los cálculos   5.1. Importancia de la estabilidad de los cálculos (estabilidad  numérica;  diferentes  tipos  de  estabilidad;  ejemplos  de  algoritmos inestables; ejercicios). 5.2. Estabilidad de la solución de un problema         (problema Cauchy para la ecuación de transporte unidimensional; aproximación del problema continuo; estabilidad de un algoritmo numérico; convergencia de la solución numérica a la solución del problema continuo; teorema de Lax; interpretación geométrica de la relación entre la condición de Courant y la convergencia del esquema explícito de Godunov; comparación de la estabilidad de un problema continuo y un problema discreto; ejercicios).   5.3. Piense bien!          (eficiencia de cálculos; esquema de Horner; ejemplos de algoritmos eficientes para encontrar las sumas de series numéricas, infinitas y finitas; ejercicios). 5.4. Importancia de métodos geométricos (demostraciones  sin  palabras:  teorema  de  Pitágoras;  suma  de  una  progresión geométrica; suma  de cualquier progresión geométrica;  desigualdad de las  medias  aritmética  y geométrica;  fórmulas  de  la tangente  del  ángulo mitad;  distancia entre  un punto  y  una línea; fórmulas de doble ángulo; teorema de Napoleón).  Referencias   Indice Analítico   Signos convencionales
    [free_reading] => Prólogo 
En las últimas décadas, la aparición y desarrollo de las computadoras, así como el uso de la modelación matemática en áreas científicas y técnicas provocó una revolución en el desarrollo de los métodos numéricos que ahora se aplican en campos donde antes nadie ni siquiera imaginaba. A menudo, los métodos numéricos son la única posibilidad de resolver problemas complejos cuando es difícil o imposible aplicar los métodos analíticos, estadísticos o experimentales. Los métodos de diferencias finitas, de elementos finitos, de Galérkin, etcétera permiten aproximar varios problemas continuos de física, química, matemática, biología, inmunología, etcétera, y reducirlos a sistemas discretos de ecuaciones. En el caso de un sistema de ecuaciones lineales, dicho sistema se resuelve por un método exacto basado en la factorización de la matriz, o por un método iterativo. Casi todos los cálculos numéricos implican álgebra lineal numérica, es decir, las operaciones con matrices. Por lo tanto, el álgebra lineal es una parte integral de la simulación numérica e importante en términos de rendimiento y eficiencia. Es preciso mencionar que la evolución de los métodos numéricos es lenta si se compara con el ritmo de desarrollo de las computadoras. A pesar de que aparecen nuevas ideas, los métodos básicos se mantienen como hace muchos años. Por ejemplo, el método de eliminación de Gauss continúa siendo uno de los mejores métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, mientras que el método de Runge-Kutta sigue siendo uno de los mejores para hallar la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Sin embargo, los métodos numéricos, como una rama independiente e importante de las matemáticas, están evolucionando permanentemente para aprovechar las enormes posibilidades de las computadoras modernas. Entre las dificultades que afectan a la computación científica hay que mencionar inestabilidades, desaparición de los dígitos, extrañas raíces de ecuaciones, uso de algoritmos incorrectos, o el uso de un algoritmo que es correcto, pero bastante 
inapropiado para el problema. El análisis numérico dispone de las siguientes características básicas: 
1. Interés en temas tales como el tiempo de computadora necesario para hallar la solución y los requisitos impuestos por los algoritmos  a la memoria del ordenador. 
2. Análisis de los errores causados por las operaciones aritméticas con un número limitado de bits en el ordenador. 
Por ejemplo, de acuerdo con la primera característica, el método de eliminación de Gauss se hace el más preferido para la resolución de sistemas lineales. Pero hay muchas variantes del método de eliminación de Gauss, y análisis de errores sirve como una guía para la selección de una de ellas. 
El presente libro está dedicado a una exposición de métodos computacionales para resolver los problemas básicos de álgebra lineal. Estos problemas incluyen la solución de un sistema de ecuaciones lineales, la inversión de una matriz, la solución de los problemas espectrales, completos y especiales, etcétera. El libro se destina básicamente a los estudiantes de nivel licenciatura y posgrado, o para autoeducación. También puede ser útil para los físicos e ingenieros que utilizan métodos numéricos de álgebra lineal. 
El texto está basado en los cursos que el autor ha impartido durante últimos veinte años en el Departamento de Física de la Facultad de Ciencias y en los programas de posgrado de Ciencia e Ingeniería de Materiales y Ciencias de la Tierra de la UNAM. Mi objetivo era hacer el libro de fácil acceso, pero al mismo tiempo lo suficientemente completo para presentar métodos y algoritmos numéricos y sus características principales. Contiene ejemplos y ejercicios que ayuden consolidar los conocimientos. 
Aprovecho la ocasión para expresar mi agradecimiento a la Dirección General de Asuntos del Personal Académico, UNAM, por su apoyo en la edición de este libro a través del Proyecto PE100116 del Programa de Apoyo a Proyectos para la Innovación y Mejoramiento de la Enseñanza. También quiero reconocer el apoyo financiero adicional en la edición del libro otorgado por el Centro de Ciencias de la Atmósfera, UNAM. Estaré agradecido por cualquier sugerencia que los lectores puedan enviarme. 

Yuri N. Skiba 
Centro de Ciencias de la 
Atmósfera, UNAM 
Ciudad de México, 2018
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